## 背景 ## Mann-Kendall Test

### 理论

Mann-Kendall Test (Mann 1945, Kendall 1975, Gilbert 1987) 的目的是统计评估变量随着时间变化，是否有单调上升或下降的趋势。单调上升（下降）的趋势意味着该变量随时间增加（减少），但此趋势可能是/不是线性的。

Mann-Kendall Test 可替代参数线性回归分析——线性回归可检验线性拟合直线的斜率是否不为零。

Mann-Kendall Test 的基础假设：

• 当没有趋势时，随时间获得的数据是独立同分布的。独立的假设是说数据随着时间不是连续相关的。
• 所获得的时间序列上的数据代表了采样时的真是条件。（样本具有代表性）
• 样本的采集、处理和测量方法提供了总体样本中的无偏且具有代表性的观测值。

Mann-Kendall Test 不要求数据是正态分布，也不要求变化趋势是线性的。如果有缺失值或者值低于一个或多个检测限制，是可以计算 Mann-Kendall Test 的，但检测性能会受到不利影响。独立性假设要求样本之间的时间足够大，这样在不同时间收集的测量值之间不存在相关性。

Mann-Kendall Test 是检验是否拒绝零假设(null hypothesis:$H_0$)，并接受替代假设（alternative hypothesis:$H_a$）：

• $H_0$：没有单调趋势
• $H_a$：存在单调趋势

### 流程

1. 包含$n$ 样本点的时间序列$x_1,x_2,…,x_n$

2. 确定所有$n(n-1)/2$$x_j-x_k$ 差值的符号，其中$j>k$

3. $sgn(x_j-x_k)$ 作为指示函数，依据$x_j-x_k$ 的正负号取值为 1， 0或-1；

4. 计算

$S=\sum_{k-1}^{n-1} \sum_{j-k+1}^{n} sgn\left(x_{j}-x_{k}\right)$

即差值为正的数量减去差值为负的数量。

• 如果$S$ 是一个正数，那么后一部分的观测值相比之前的观测值会趋向于变大；
• 如果$S$ 是一个负数，那么后一部分的观测值相比之前的观测值会趋向于变小。
5. 分两种情况

• 如果$n\leq10$，需要在概率表 (Gilbert 1987, Table A18, page 272) 中查找$S$

• 如果此概率小于$\alpha$ (认为没有趋势时的截止概率)，那就拒绝零假设，认为趋势存在。

• 如果在概率表中找不到$S$ 「存在结数据（tied data values）情况」，就用表中的下一个值。

比如$S=12$，如果概率表中没有$S=12$，那么就用$S=13$来处理也是一样的。

• 如果$n > 10$，则依以下步骤 6-10 来判断有无趋势；

6. 计算$S$ 的方差如下：

$\operatorname{VAR}(S)=\frac{1}{18}\left[n(n-1)(2 n+5)-\sum_{p-1}^{g} t_{p}\left(t_{p}-1\right)\left(2 t_{p}+5\right)\right]$

其中$g$ 是结组（tied groups）的数量，$t_p$是第$p$ 组的观测值的数量。

例如：在观测值的时间序列$\{23, 24, 29, 6, 29, 24, 24, 29, 23\}$ 中有$g = 3$ 个重复值（结值），相应地 对于结值 (tied value) 23 有$t1=2$、结值 24 有$t2=3$、结值 29 有$t3=3$。当因为有相等值或未检测到而出现结时，$VAR(S)$ 可以通过*Helsel (2005, p. 191)*中的结修正方法来调整。

7. 计算 Mann-Kendall Test 统计量$Z_{MK}$

$Z_{M K}=\left\{\begin{array}{cl} \frac{S-1}{\sqrt{V A R(S)}}, & S>0 \\ 0 & , \quad S=0 \\ \frac{S+1}{\sqrt{V A R(S)}}, & S<0 \end{array}\right.$

8. 需要测试零假设：

• $H_0$ (没有单调趋势)对比替代假设
• $H_a$(有单调增趋势)

其1型容忍概率为$\alpha$$0<\alpha<0.50$

如果$Z_{1-\alpha} \leq Z_{MK}$，则拒绝零假设$H0$，接受替代假设$H_a$，其中$Z_{1−\alpha}$是标准正态分布的$100(1−\alpha)^{th}$百分位。

9. 如果$Z_{MK}\leq -Z_{1−\alpha}$，就拒绝零假设$H_0$，接受替代假设$H_a$ -> 有单调递减趋势；

10. 如果$|Z_{MK}|≥Z_{1−\frac{\alpha}{2}}$，就拒绝零假设$H0$，接受替代假设$H_a$，其中竖线代表绝对值 -> 有单调递增或者递减趋势；